ين التفاضل١

بسم الله الرحمن الرحيم

قوانين التفاضل + التطبيقات

إعداد: أستاذ حسام الدين الجيلي

إيجاد المشتقة بالقانون

1/ إذا كان ص = أ س^ن

فإن دص/دس = ن أ س^ن-1

مثال: جد دص/دس للدوال التالية:

أ) ص = 8 س⁵

الحل:

دص/دس = 40 س⁴

ب) ص = س³

الحل:

دص/دس = 3 س²

2/ إذا كان ص = أ س

فإن دص/دس = أ

مثال: جد دص/دس للدالة ص = 6س

الحل:

دص/دس = 6

3/ إذا كان ص = أ (ثابت)

فإن دص/دس = صفر

مثال: جد دص/دس للدالة ص = 7

الحل:

دص/دس = صفر

4/ إذا كان ص = ل + ع (حيث ل و ع دالتين في س)

فإن دص/دس = دل/دس + دع/دس

مثال: جد دص/دس للدالة ص = 3س⁵ + 2س⁴ + 11س + 1

الحل:

دص/دس = 15س⁴ + 8س³ + 11

5/ إذا كان ص = جا(أ س)

فإن دص/دس = أ جتا(أ س)

مثال: ص = جا3س

دص/دس = 3 جتا3س

6/ إذا كان ص = جتا(أ س)

فإن دص/دس = -أ جا(أ س)

مثال: ص = جتا7س

دص/دس = - 7جا7س

7/ إذا كان ص = ظا(أ س)

فإن دص/دس = أ قا²(أ س)

مثال: ص = ظا4س

دص/دس = 4 قا²4س

8/ إذا كان ص = ظتا(أ س)

فإن دص/دس = -أ قتا²(أ س)

مثال: ص = ظتا8س

دص/دس = - 8 قتا²8س

9/ إذا كان ص = قا(أ س)

فإن دص/دس = أ قا(أ س) ظا(أ س)

مثال: ص = قا2س

دص/دس = 2قا2س ظا2س

10/ إذا كان ص = قتا(أ س)

فإن دص/دس = -أ قتا(أ س) ظتا(أ س)

مثال: ص = قتا6س

دص/دس = -6قتا6س ظتا6س

قوانين إضافية

تفاضل ضرب دالتين

إذا كان ص = ل × ع

فإن دص/دس = ل × (دع/دس) + ع × (دل/دس)

مثال: جد دص/دس للدالة ص = (س² + 3)(4س + 1)

الحل:

دص/دس = (س² + 3)(4) + (4س + 1)(2س)

= 4س² + 12 + 8س² + 2س

= 12س² + 2س + 12

تفاضل قسمة دالتين

إذا كان ص = ل / ع

فإن دص/دس = (ع × دل/دس - ل × دع/دس) / ع²

مثال: جد دص/دس للدالة ص = (3س² + 2) / (5س + 1)

الحل:

دص/دس = ( (5س + 1)(6س) - (3س² + 2)(5) ) / (5س + 1)²

= (30س² + 6س - 15س² - 10) / (5س + 1)²

= (15س² + 6س - 10) / (5س + 1)²

تفاضل دالة الدالة (القاعدة السلسلة)

إذا كان ص = ع^ن

فإن دص/دس = ن ع^ن-1 × (دع/دس)

مثال: ص = (2س⁴ - 5س + 2)⁶ ، جد دص/دس

الحل:

دص/دس = 6(2س⁴ - 5س + 2)⁵(8س³ - 5)

أسئلة امتحانات الشهادة السودانية

1/ ص = 4س³ + 2س² - 5س + 1 الحل دص/دس = 12س² + 4س - 5 2/ ص = 2جاس + 3جتاس الحل دص/دس = 2جتاس - 3جاس 3/ الحل ص= 2س³+ 4س²-5جتاس+3 دص/دس= 6س²+8س+5جاس